Парадокс дней рождения

Парадо́кс дней рожде́ния — утверждение, гласящее, что если дана группа из 23 или более человек, то вероятность того, что хотя бы у двух из них дни рождения (число и месяц) совпадут, превышает 50%. С практической точки зрения это означает, что если, например, в вашем классе более 22 учеников, то более вероятно, что у кого-то из одноклассников дни рождения придутся на один день, чем что у каждого будет свой собственный день рождения.

Для 60 и более человек вероятность такого совпадения превышает 99%, хотя 100% она достигает, согласно принципу Дирихле, только когда в группе не менее 367 человек (с учётом високосных лет).

Такое утверждение может показаться неочевидным, так как вероятность совпадения дней рождения двух человек в любой день года (1/365 = 0,27 %), помноженная на число человек в группе из 23, даёт лишь 23/365 = 6,3 %. Это рассуждение неверно, так как число возможных пар (253) значительно превышает число человек в группе. Таким образом, утверждение не является парадоксом в строгом научном смысле — логического противоречия в нём нет, а парадокс заключается лишь в различиях между интуитивным восприятием ситуации человеком и результатами математического расчёта.

График, показывающий вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух человек из указанного числа людей


Интуитивное восприятие

Один из способов понять на интуитивном уровне, почему в группе из 23 человек вероятность совпадения дней рождения у двух человек столь высока, состоит в осознании следующего факта: поскольку рассматривается вероятность совпадения дней рождения у любых двух человек в группе, то эта вероятность определяется количеством пар людей, которые можно составить из 23 человек. Так как порядок людей в парах не имеет значения, то общее число таких пар равно числу сочетаний из 23 по 2, то есть (23 × 22)/2 = 253 пары. Посмотрев на это число, легко понять, что при рассмотрении 253 пар людей вероятность совпадения дней рождения хотя бы у одной пары будет достаточно высокой.

Ключевым моментом здесь является то, что утверждение парадокса дней рождения говорит именно о совпадении дней рождения у каких-либо двух членов группы. Одно из распространённых заблуждений состоит в том, что этот случай путают с другим — похожим, на первый взгляд, — случаем, когда из группы выбирается один человек и оценивается вероятность того, что у кого-либо из других членов группы день рождения совпадёт с днем рождения выбранного человека. В последнем случае вероятность совпадения значительно ниже.
Расчёт вероятности

В данном примере для расчёта вероятности того, что в группе из n человек как минимум у двух дни рождения совпадут, примем, что дни рождения распределены равномерно, то есть нет високосных лет, близнецов, рождаемость не зависит от дня недели, времени года и других факторов. В действительности это не совсем так — обычно летом рождается больше детей; кроме того, в некоторых странах из-за особенностей работы больниц больше детей рождается в определённые дни недели. Однако неравномерность распределения может лишь увеличить вероятность совпадения дней рождения, но не уменьшить: если бы все люди рождались только в 3 дня из 365, то вероятность совпадения дней рождения была бы очень высокой.

Рассчитаем сначала, какова вероятность того, что в группе из человек дни рождения всех людей будут различными. Если , то в силу принципа Дирихле вероятность равна нулю. Если же , то будем рассуждать следующим образом. Возьмём наугад одного человека из группы и запомним его день рождения. Затем возьмём наугад второго человека, при этом вероятность того, что у него день рождения не совпадёт с днем рождения первого человека, равна . Затем возьмём третьего человека — при этом вероятность того, что его день рождения не совпадёт с днями рождения первых двух, равна . Рассуждая по аналогии, мы дойдём до последнего человека, для которого вероятность несовпадения его дня рождения со всеми предыдущими будет равна . Перемножая все эти вероятности, получаем вероятность того, что все дни рождения в группе будут различными:

Тогда вероятность того, что хотя бы у двух человек из n дни рождения совпадут, равна

Значение этой функции превосходит 1/2 при (при этом вероятность совпадения равна примерно 50,7 %). Вероятности для некоторых значений иллюстрируются следующей таблицей:
                                       
                    10                    12 %
                    20                    41 %
                    30                    70 %
                    50                    97 %
                   100                   99,99996 %
                   200                   99,9999999999999999999999999998 %
                   300                   (1 − 7×10−73) × 100 %
                   350                   (1 − 3×10−131) × 100 %
                   367                   100 %


Данную задачу можно переформулировать в терминах классической «задачи о совпадениях». Пусть урна содержит (в данном случае 365) шаров, занумерованных числами . Производится выборка с возвращением объёма (в данном случае количество человек в группе), при этом рассматриваемые выборки считаются упорядоченными (то есть выборки и считаются различными). Требуется посчитать вероятность события, заключающегося в отсутствии повторений в выборке (все расчёты аналогичны приведённым выше).

Альтернативный метод

Вероятность совпадения дней рождения в группе можно также рассчитать с использованием формул комбинаторики. Представим, что каждый день года — это одна буква в алфавите из 365 букв. Дни рождения n человек могут быть представлены строкой, состоящей из n букв такого алфавита. Общее число таких строк равно

Общее число строк, в которых буквы не повторяются, составит

Тогда если строки выбираются случайно (с равномерным распределением), то вероятность выбрать строку, в которой хотя бы две буквы совпадут, равна

для и для .

Поскольку

то это выражение эквивалентно представленному выше.
Аппроксимации

Используя разложение экспоненциальной функции в ряд Тейлора

приведённое выше выражение, дающее значение , можно аппроксимировать следующим образом:

График, показывающий соотношение между точным значением и аппроксимацией p (n)

Следовательно,

Для ещё более грубой аппроксимации можно взять выражение

которое, как показывает график, всё ещё даёт достаточную точность.

Приведём ещё одну аппроксимацию.

Вероятность того, что у двух людей день рождения не совпадает, равна 364/365. В группе из человек пар. Поэтому вероятность при условии независимости этих событий может быть приближена числом

Следовательно, получаем приближение для искомой вероятности p (n)
Пуассоновское приближение

Используя приближение Пуассона для бинома, исходя из предыдущего приближения для , получим чуть больше 50 %:
Подсчёт количества людей для 50 % вероятности[править | править исходный текст]

Используя предыдущую формулу для подсчёта p (n), мы можем выразить n, считая p (n) равной 50 %,получим

Есть ещё один способ оценки n для 50 % вероятности. Как доказывалось выше

Найдём наименьшее n,для которого p(n) > 1/2; или, что то же самое,p(n) < 1/2.

Используя разложение экспоненты в ряд Тейлора, получим 1 − x < e−x. И следовательно,

Так как p(n) < 1/2,

Решая относительно n,получаем

Отсюда находим n равно 23.
Родившиеся в один день с заданным человеком

Сравнение вероятностей p (n) и q (n)

Интересно сравнить вероятность p (n) с вероятностью того, что в группе из n человек у кого-либо день рождения совпадет с днём рождения некоторого заранее выбранного человека (не принадлежащего к этой группе). Эта вероятность равна

Подставляя n = 23, получаем q (n) примерно 5,9 %, что лишь немногим лучше одного шанса из 17. Для того, чтобы вероятность совпадения дня рождения с заданным человеком превысила 50 %, число людей в группе должно быть не менее 253. Это число заметно больше, чем половина дней в году (365/2 = 182.5); так происходит из-за того, что у остальных членов группы дни рождения могут совпадать между собой, и это уменьшает вероятность совпадения одного из них с днём рождения заданного человека.

Обобщения
Совпадение дискретных случайных величин

Задача, представленная парадоксом дней рождения, может быть поставлена в общем виде следующим образом: если даны n равномерно распределённых случайных чисел в диапазоне от 1 до d, то какова вероятность p (n ; d) того, что хотя бы два из этих чисел совпадут?

Рассуждая таким же образом, как описано выше, можно получить общие решения:

И наоборот, если n(p;d) обозначает количество чисел, принимающих значения от 1 до d,для которого вероятность того, что хотя бы 2 из них совпадают равно p,то.
Несколько типов людей

Выше парадокс дней рождения был представлен для одного «типа» людей. Можно обобщить задачу, введя несколько «типов», например, разделив людей на мужчин (m) и женщин (n). Подсчитаем вероятность того, что хотя бы у одной женщины и у одного мужчины совпадают дни рождения (совпадение дней рождения у двух женщин или у двух мужчин не учитываются):

где d = 365 и S2() — числа Стирлинга второго рода. Интересно, что нет однозначного ответа на вопрос о величине n+m для заданной вероятности. Например, вероятность 0,5 даёт как набор из 16 мужчин и 16 женщин, так и набор из 43 мужчин и 6 женщин.
Близкие дни рождения

Другое обобщение парадокса дней рождения состоит в постановке задачи о том, сколько человек нужно для того, чтобы вероятность наличия в группе людей, дни рождения которых различаются не более чем на один день (или на два, три дня и так далее), превысила 50 %. Эта задача более сложная, при её решении используется принцип включения-исключения. Результат (опять-таки в предположении, что дни рождения распределены равномерно) получается следующим:
Максимальное различие дней рождения, дней  Необходимое число людей
                                        1                                              23
                                        2                                              14
                                                                                     11
                                                                                      9
                                                                                      8
                                        6                                               8
                                        7                                               7
                                        8                                               7


Таким образом, вероятность того, что даже в группе из 7 людей дни рождения хотя бы у двух будут различаться не более чем на неделю, превышает 50 %.

Литература
John G. Kemeny, J. Laurie Snell, and Gerald Thompson Introduction to Finite Mathematics . The first edition, 1957.(русский перевод: Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную математику. Издательство иностранной литературы, 1963 г., 488 стр.)
Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. РХД, 2003. (ISBN 5-93972-150-8)
Козлов М. В. Элементы теории вероятностей в примерах и задачах. МГУ, 1990. (ISBN 5-211-00312-8)
Ширяев А. Н. Вероятность-1. МЦНМО, 2007. (ISBN 987-5-94057-036-3)
Goldberg S. A Direct Attack on a Birthday Problem (англ.) // Mathematical Mathematics Magazine. — May 1976. — В. 49. — С. 130-132.
Mosteller F. Understanding the Birthday Problem (англ.) // The Mathematics Teacher. — May 1962. — С. 322-325.
Eurobirthdays 2012 года. День рождения проблемы. Практический пример футбольного дня рождения парадокс.

Источник: Википедия
теги, поисковые слова: Ошо, Рерих, Блаватская, Лапин, Раков, Где взять силы для успеха, Свияш, Синельников, Лев Выготский, Психология искусств, Вадим Зеланд, Транссерфинг реальности, Бернард Вербер, Империя ангелов, Анатолий Некрасов, Эгрегоры, Елена Рерих, Письма, Сергей Лазарев, Диагностика кармы, Ричард Бах,  ипноз для Марии, Иллюзии, Дипак Чопра, Путь любви, Дэн Милман, Путь мирного воина, Аршавир Аванесян, Сыроедение, Экхарт Толле, The power of Now, Виктория Бутенко, Зелень для жизни, Сидерский, Привалов, Око возрождения, Валерий Синельников, Возлюби болезнь свою; Тайна подсознания; Сила намерения, Лиз Бурбо Слушай свое тело, Николай Рерих Агни Йога, Учение живой этики, Елена Блаватская, Тайная доктрина, Татьяна Гинзбург, Дыхательные психотехники, Фрэнк Кинслоу, Секрет мгновенного исцеления, Александр Свияш, Здоровье в голове, а не в аптеке,  Мирзакарим Норбеков, Тренировка тела и духа, Андрей Сидерский, Третье открытие силы, Владимир Мегре, Анастсия, Ицхак Пинтосевич, Живи, Лууле Виилма, Без зла в себе, Георгий Сытин, Исцеляющие настрои, Владимир Жикаренцев, Жизнь без границ, Мантек Чиа, Исцеление космосом, Лев Толстой, Предисловие к Евангелию, психосоматика, болезнь, проблема, развод, ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ЛИЧНОСТИ,  АЛЬТЕН, гороскоп, водолей, рыбы, весы, овен, телец, близнецы, рак, лев, дева, скорпион, козерог, Веста – это Дева, обучение, премудрости, замужество, ведающий, знающая, будущее,  заботливая мать, хорошая хозяйка, верная, мудрая, любящая, жена, муж, семья, осознание, осмысление, МАСТЕР-КЛАСС,  РУДНИЦКий, Сайгоны, Психотерапия рак, психология, психотехники, Инструкции, пользователя, вселенная, мироздание, Турмалин, аметист, алмаз, рубин, мира, мир,  путешествие, шамбала, баланс, Лагадек, теория, катастрофа,  отче наш, киприана, Лицо, восток, вдох, дыхание, холотроп, холотропное, вайвэйшн, жизнь, омоложение, вернуть молодость, массаж, уверенность, купание в проруби, моржевание, закалка, зарядка, йога, пять тибетцев, расстановки, Хеллингер, Дева премал, мантры, колокол, гонг, чаша,простукивание, нлп, неоэтика, этика, нейробика, адидас, найк, спорт, турник, телесно-ориентированная, векторная, системная, тело, тайланд, отдых, малазия, индия, ашрам, тибет, море, воздух, польза, вода, песнопения, страсть, эмоция, гипноз, голодание, диета, реберфинг, соматика, флоатинг, цигун, пульсации, свами, манада, монада, резонанс, парадигма, курение, водка, кодирование, велосипед, спортзал, тренажер, Молитва, Бог, христианство, православие, мусульманство, судьба, миссия, буддизм, индуизм, нирвана, рейки, рэйки, энерготерапия, аура, анахата, Муладхара, Свадхистхана, Манипура, Вишуддха, Аджна, Сахасрара, прана, праноедение, третий глаз, энерго-оболочка, просветление, параллельные  миры, сновидение, медитация,  Эфирное тело, Астральное тело, астрал, Ментальное тело, Каузальное тело , Будхиальное тело, Атманическое тело, космоэнергетика, нумерология, Библия, тора, ветхий завет, новый завет, каран, хиромантия, астрология, скипетр, адепт, сетка хартмана, песочная терапия, дендротерапия, просветление, энерго-информационное, торсунов, белые облака. путь к себе, clouds, inwardpath, открытый мир, инь, янь, дзен, сущности, инвольтация, инкарнация, реинкарнация, рай,